By Phillipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

Das Lehrbuch diskutiert g?ngige Fragen der research und linearen Algebra und verwendet f?r die rechnergest?tzten Antworten die software program Matlab und Mathematica. Es stellt mathematische Standard-Algorithmen im aspect vor und zeigt deren Umsetzung in die Programme. Zus?tzlich erl?utert es, wie deren Funktionen Probleme l?sen. Die Inhalte sind nach Datentypen (Polynome, reelle Funktionen, Matrizen) gegliedert. Im Vordergrund: die Objekte am Rechner, Grundoperationen an diesen Objekten und typische Fragen. Mit Algorithmen in Pseudocode. Plus zum obtain: Programme f?r Mathematica und Matlab, alle Beispiele, Grafiken, interaktive Elemente.

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Lieferte den ersten Beweis (unabhängig von ihm auch der Belgier Charles de la Vall´ee Poussin) des Primzahlsatzes, wonach die Anzahl der Primzahlen ≤ n gleich schnell wächst wie n/ ln n. 30 Schlecht gestellte Probleme sind entgegen der ursprünglichen Auffassung nicht Folge einer fehlerhaften Modellierung. Viele inverse Probleme aus Naturwissenschaft, Industrie und Technik, bei denen nach Ursachen für gewünschte oder beobachtete Effekte gesucht wird, sind schlecht gestellt. Zur numerischen Lösung inverser und schlecht gestellter Probleme werden sogenannte Regularisierungsmethoden eingesetzt.

4 Eigenschaften von Algorithmen Stabilität Auch wenn ein korrekter Algorithmus zur Lösung eines Problems (' ,x) vorliegt, seine Computerrealisierung kann infolge von Daten- und Rundungsfehlern dennoch zu einem Resultat '˜ (x) ˜ führen, das nicht mit ' (x) übereinstimmt39. Dabei bezeichnet x˜ die fehlerhaften Daten, und die Abbildung '˜ steht für die Computerrealisierung samt aller Fehler des gewählten Algorithmus. Die Frage, ob '˜ (x) ˜ als Näherungslösung, also als eine hinreichend gute Näherung für die eigentlich gesuchte Lösung ' (x) akzeptiert werden kann, ist Gegenstand der Stabilitätsanalyse eines Algorithmus.

In beiden Fällen kann sowohl mit dem normweisen als auch dem komponentenweisen Fehlerkonzept gearbeitet werden. 39 Fehler im Resultat können natürlich auch durch Diskretisierung und/oder Abbruch von Iterationen entstehen. 40 Der Rundungsfehler bei der Ergebnisausgabe ist im Zusammenhang mit Stabilität vernachlässigbar. Auf Diskretisierungs- und Abbruchsfehler gehen wir jeweils nur bei konkreten Algorithmen ein. 37 38 I Grundbegriffe und Grundfragen einer algorithmischen Mathematik Aufgrund unserer Einschränkung auf Rundungsfehler betrachten wir dabei im folgenden stets den relativen Fehler.

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